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黎曼猜想到底在表达什么?

发布时间:2018/09/30 网站资讯 浏览次数:518

昆山网站建设

众所周知黎曼几何为爱因斯坦的相对论做出了完美的数学解释,那么这个黎曼猜想到底说了些什么呢?

证明过程肯定很复杂的,我们就先不管它了,至于黎曼猜想的内容原来是这样的。

在自然数序列中,质数(素数)的概念,是小学生都能够理解的,数就是那些只能被1和自身整除的整数,比如2,3,5,7,11等等都是质数。4,6,8,9等等都不是质数。由于每个自然数都可以唯一地分解成有限个质数的乘积,因此在某种程度上,质数构成了自然数体系的基石,就好比原子是物质世界的基础一样。

质数的特性,让数学界历来都为它们迷恋不已。但是质数是没有规律可循的,最早用数学表达式来表达质数的普遍规律,还是瑞士的天才数学家欧拉在1737年发表了欧拉乘积公式。在这个公式中,如鬼魅随性的质数不再肆意妄为,终于向人们展示出了其循规蹈矩的一面。

沿着欧拉开辟的这一战场,数学王子高斯(Gauss)和另一位数学大师勒让德(Legendre)深入研究了质数的分布规律,终于各自独立提出了石破天惊的质数定理。这一定理给出了质数在整个自然数中的大致分布概率,且和实际计算符合度很高。在和人们玩捉迷藏游戏两千多年后,质数终于露出了其漂亮的狐狸尾巴。

虽然符合人们的期待,质数定理所预测的分布规律和实际情况仍然有偏差,且偏差情况时大时小,这一现象引起了黎曼的注意。

其时,年仅33岁的黎曼(Riemann)当选为德国柏林科学院通信院士。出于对柏林科学院所授予的崇高荣誉的回报,同时为了表达自己的感激之情,他将一篇论文献给了柏林科学院,论文的题目就是《论小于已知数的质数的个数》。在这篇文章里,黎曼阐述了质数的精确分布规律。

没有人能预料到,这篇短短8页的论文,蕴含着一代数学大师高屋建瓴的视野和智慧,以至今日,人们仍然为隐匿在其中的奥秘而苦苦思索。

就是数学界在一百多年前,在研究质数的过程中,黎曼定义出来的黎曼Zeta函数,就是黎曼猜想的主要内容。

现在关键的问题,是当时黎曼认为很显然的定理,没有证明,出现了类似费马猜想的乌龙,让整个数学界前赴后继,却不能证明,但是他们延伸出来的应用,已经遍布整个科学体系的方方面面了。

黎曼在文章里定义了一个函数,它被后世称为黎曼Zeta函数,Zeta函数是关于s的函数,其具体的定义就是自然数n的负s次方,对n从1到无穷求和。因此,黎曼Zeta函数就是一个无穷级数的求和。然而,遗憾的是,当且仅当复数s的实部大于1时,这个无穷级数的求和才能收敛(收敛在这里指级数的加和总数小于无穷)。

黎曼观察到,素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。黎曼假设断言,方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。

黎曼ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式:

为了研究Zeta函数的性质,黎曼通过围道积分的方式对该函数做了一个解析延拓,将s存在的空间拓展为复数平面,其表达式:

研究函数的重要性质之一就是对其零点有深刻的认识。零点就是那些使得函数的取值为零的数值集合。比如一元二次方程一般有两个零点,并且有相应的求根公式给出零点的具体表达式。

黎曼对解析延拓后的Zeta函数证明了其具有两类零点。其中一类是某个三角sin函数的周期零点,这被称为平凡零点;另一类是Zeta函数自身的零点,被称为非平凡零点。针对非平凡零点,黎曼提出了三个命题。

第一个命题,黎曼指出了非平凡零点的个数,且十分肯定其分布在实部大于0但是小于1的带状区域上。

第二个命题,黎曼提出所有非平凡零点都几乎全部位于实部等于1/2的直线上。从表达式:

不难看出,黎曼ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零 – 因为 sin(πs/2) 为零。复平面上的这种使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ 函数的零点。因此 s=-2n (n 为正整数)是黎曼ζ 函数的零点。这些零点分布有序、 性质简单, 被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zero)。除了这些平凡零点外,黎曼ζ 函数还有许多其它零点, 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂, 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros)。

黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上,也即方程ζ(s)=0的解的实部都是1/2。

在黎曼猜想的研究中, 数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line(临界线)。运用这一术语,黎曼猜想也可以表述为:黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。

第三个命题,黎曼用十分谨慎的语气写到:很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上。这条线,从此被称为临界线。而最后这个命题,就是让后世数学家如痴如醉且寝食难安的黎曼猜想。

黎曼函数还可以如下的一些表达方式:

有人曾经问希尔伯特,如果500年后能重回人间,他最希望了解的事情是什么?希尔伯特回答说:我想知道,黎曼猜想解决了没有。美国数学家蒙哥马利(Montgomery)曾经也表示,如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明,多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。黎曼猜想,俨然就是真理的宇宙里,数学家心目中那颗最璀璨的明星。

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